РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 540 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2012

Сложность: V

Уравнения смешанного типа, разные вопросы об уравнениях

Найдите произведение корней уравнения $x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x плюс 20 конец дроби .$

Решение. Найдем ОДЗ:

$система выражений x в квадрате минус 100 больше или равно 0, 2x плюс 20 не равно q 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка больше или равно 0, x плюс 10 не равно q 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 10, x больше или равно 10, конец системы . x не равно q минус 10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10. конец совокупности .$ $система выражений x в квадрате минус 100 больше или равно 0, 2x плюс 20 не равно q 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка больше или равно 0, x плюс 10 не равно q 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x меньше или равно минус 10, x больше или равно 10, конец системы . x не равно q минус 10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10. конец совокупности .$

Преобразуем уравнение при этих ограничениях:

$x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x плюс 20 конец дроби равносильно система выражений 2x в квадрате плюс 20x минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 2x в квадрате плюс 20x минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = x в квадрате минус 20x плюс 100, совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x в квадрате минус 100 минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента плюс 40x = 0, совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10. конец системы . конец совокупности .$ $x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x плюс 20 конец дроби равносильно система выражений 2x в квадрате плюс 20x минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 2x в квадрате плюс 20x минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = x в квадрате минус 20x плюс 100, совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 100 минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента плюс 40x = 0, совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10. конец системы . конец совокупности .$ $x минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2x плюс 20 конец дроби равносильно$
$равносильно система выражений 2x в квадрате плюс 20x минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате , совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 2x в квадрате плюс 20x минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = x в квадрате минус 20x плюс 100, совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус 100 минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента плюс 40x = 0, совокупность выражений x меньше минус 10, x больше или равно 10. конец системы . конец совокупности .$

Пусть $t = корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента ,$ $t больше или равно 0,$ тогда

$система выражений t в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка t плюс 40x = 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус |x минус 10|, t = x плюс 10 плюс |x минус 10|, конец системы . t больше или равно 0. конец совокупности .$ $система выражений t в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка t плюс 40x = 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус |x минус 10|, t = x плюс 10 плюс |x минус 10|, конец системы . t больше или равно 0. конец совокупности .$ $система выражений t в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка t плюс 40x = 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус |x минус 10|, t = x плюс 10 плюс |x минус 10|, конец системы . t больше или равно 0. конец совокупности .$ $система выражений t в квадрате минус левая круглая скобка 2x плюс 20 правая круглая скобка t плюс 40x = 0, t больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате плюс 80x плюс 400 минус 160x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = дробь: числитель: 2x плюс 20 минус корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , t = дробь: числитель: 2x плюс 20 плюс корень из: начало аргумента: 4x в квадрате минус 80x плюс 400 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 20x плюс 100 конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , t = x плюс 10 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , конец системы . t больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений t = x плюс 10 минус |x минус 10|, t = x плюс 10 плюс |x минус 10|, конец системы . t больше или равно 0. конец совокупности .$

Раскроем модульные скобки при $x больше или равно 10:$

$x плюс 10 минус |x минус 10| = x плюс 10 минус x плюс 10 = 20 больше 0,$

$x плюс 10 плюс |x минус 10| = x плюс 10 плюс x минус 10 = 2x больше 0.$

При $x больше или равно 10$ возможны два значения t. Раскроем модульные скобки при $x меньше минус 10:$

$x плюс 10 минус |x минус 10| = x плюс 10 минус 10 плюс x = 2x меньше 0,$

$x плюс 10 плюс |x минус 10| = x плюс 10 минус x плюс 10 = 20 больше 0.$

При $x меньше минус 10$ возможно одно значение t. Вернемся к исходной переменной и получим:

$совокупность выражений система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = 20, x больше или равно 10, конец системы . система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = 2x, x больше или равно 10, конец системы . система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = 20, x меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 100 = 400, x больше или равно 10, конец системы . система выражений x в квадрате минус 100 = 4x в квадрате , x больше или равно 10, конец системы . система выражений x в квадрате минус 100 = 400, x меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате = 500, x больше или равно 10, конец системы . система выражений 3x в квадрате = минус 100, x больше или равно 10, конец системы . система выражений x в квадрате = 500, x меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , x = минус 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . конец совокупности .$ $совокупность выражений система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = 20, x больше или равно 10, конец системы . система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = 2x, x больше или равно 10, конец системы . система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 100 конец аргумента = 20, x меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате минус 100 = 400, x больше или равно 10, конец системы . система выражений x в квадрате минус 100 = 4x в квадрате , x больше или равно 10, конец системы . система выражений x в квадрате минус 100 = 400, x меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате = 500, x больше или равно 10, конец системы . система выражений 3x в квадрате = минус 100, x больше или равно 10, конец системы . система выражений x в квадрате = 500, x меньше минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , x = минус 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента . конец совокупности .$

Таким образом, произведение корней исходного уравнения равно $минус 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента = минус 500.$

Ответ: − 500.

Ответ: -500

540

-500

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2012

Сложность: V

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	540	-500